M.S.A: Metode Numerik - Matriks Invers

METODE MATRIKS INVERS

Pada metode matriks invers ini, matriks identitas I digandengkan dengan matriks bujur sangkar A. Kemudian matriks A diubah menjadi matriks A^-1 ( invers dari matriks A ) dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris.

Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Tetapi untuk : BAC = B ( AC ) = BI = B …………………….(*)

BAC = ( BA ) C = IC = C ………………………(**)

Dari (*) dan (**) maka B = C

2. Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri

Andaikan matriks C = A^-1 , ini berarti berlaku :

AC = CA = I ……………… (*)

Juga berlaku C C^-1 = C^-1 C = I ……….. (**)

Dari (*) dan (**) berarti :

C^-1 = A

(A^-1)^-1= A

3. Matriks invers bersifat nonsingular ( determinannya tak nol )

det ( A A^-1) = det ( A ) det ( A^-1 )

det ( I ) = det ( A ) det ( A^-1 )

I = det ( A ) det ( A^-1 ) ; karena det ( A ) ≠ 0, maka :

det ( A^-1 ) = 1det( A )

ini berarti bahwa det ( A^-1 ) adalah tidak nol dan kebalikan dari det ( A ).

4. Jika A dan B masing – masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut – turut A ^-1 dan B ^-1 adalah invers dari matriks A dan B, maka berlaku hubungan

( A B )^-1 = B^-1 A^-1

(AB) (AB)^-1= (AB)^-1 (AB) = I (*)

di sisi lain :

(AB) (B^-1 A^-1) = A(BB^-1) A^-1= A I A^-1 = A A^-1 = I

(B^-1 A^-1) (AB) = B^-1(A^-1A) B = B^-1 I B = B^-1B = I (**)

Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal),

karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)^-1 = B^-1 A^-1 .

5. Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular , maka berlaku ( A^-1 )^T = ( A^T )^-1

Menurut sifat determinan : ïA^Tï = ïAï ¹ 0, oleh sebab itu (A^T)^-1 ada, dan haruslah :

(A^T)^-1 A^T = A^T (A^T)^-1 = I (*)

Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :

(A A^-1)^T= (A^-1)^T A^T

I^T= (A^-1)^T A^T

(A^-1)^TA^T = I, hubungan ini berarti bahwa (A^-1)^T adalah juga invers dari A^T.

Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),

haruslah :

(A^-1)^T = (A^T)^-1 .

Untuk A matriks persegi, A^-1 adalah invers dari A jika berlaku :

A A^-1 = A^-1 A = I

Untuk mendapatkan A^-1, dapat dilakukan dengan cara :

1. Metode matriks Adjoint

2. Metode OBE dan atau OKE

Metode Matriks Adjoint

Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :

A adj(A) = adj(A) A = |A| I

Jika |A| ≠ 0, maka :

Penyelesaian :

C₁₁ = M₁₁ = - 5

C₁₂ = - M₁₂ = 1

C₁₃ = M₁₃ = 1

C₂₁ = - M₂₁ = 4

C₂₂ = M₂₂ = - 2

C₂₃ = - M₂₃ = 0

C₃₁ = M₃₁ = - 4

C₃₂ = - M₃₂ = 0

C₃₃ = M₃₃ = 2

Metode OBE dan atau OKE

Untuk mendapatkan invers suatu matrik, salah satu metode yang dapat dilakukan adalah menggunakan matrik elementer.

Matrik elementer adalah matrik persegi yang diperoleh dari matrik satuan yang sesuai, yang dikenai hanya oleh satu Operasi Baris Elementer.

Contoh matrik Elementer :

E₁ diperoleh dari matrik satuan berordo 2 x 2 yang dikenai satu Operasi Baris Elementer yang pertama, yaitu mengalikan baris kedua dengan konstanta -3. E₂ diperoleh dari matrik satuan 3x3 yang dikenai satu Operasi Baris Elementer yang kedua, yaitu menukar baris kedua dengan baris ketiga. Sedangkan E₃ dikenai Operasi Baris Elementer yang ketiga, yaitu menjumlahkan kelipatan -5 baris ketiga dengan baris pertama.

Setiap matrik elementer mempunyai invers dan inversnya adalah matrik elementer yang diperoleh dari lawan operasinya.

Jika A matrik persegi n x n dan matrik A ekivalen baris dengan matrik satuan In, maka dapat ditemukan m matrik elemter, sehingga jika dikalikan denga matrik A, maka matrik A tersebut menjadi matrik satuan, misalkan :

E_m…….E₂E₁A = I_n

Karena setiap matrik elementer mempunyai invers, maka jika dilakukan perkalian dengan invers masing-masing matrik elementer, didapat :